Quina diferència hi ha entre una antiderivativa i una integral?

No hi ha diferències, les dues paraules són sinònimes.

Depèn d'un parell de coses. Quines antiderivatives, generals o particulars? quina integral definida o indefinida? I, a qui demanem?

Integral general antiderivativa i indefinida:

Molts matemàtics no distingeixen la integral indefinida i la general antiderivativa. En qualsevol cas, per a la funció # f # la "resposta" és #F (x) + C # on #F '(x) = f (x) #..

Alguns (per exemple, l’autor de llibres de text James Stewart) fan una distinció. El que Stewart es refereix com a "el més general" de les antiderivades # f #, admet diverses constants en cada discontiu de # f #. Per exemple, ell responia a la més generalista antiderivada de # 1 / x ^ 2 # és una funció definida parcialment:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # per #x <0 # i # (- 1) / x + C_2 # per #x> 0 #.

La integritat indefinida de # f #, en aquest tractament, sempre és una antiderivativa en algun interval sobre el qual # f # és continu.

Tan #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, on s'entén que el domini està restringit a algun subconjunt dels reals positius o un subconjunt dels reals negatius.

Antiderivades particulars

Una particular antiderivativa de # f # és una funció # F # (més que una família de funcions) per a la qual cosa #F '(x) = f (x) #.

Per exemple:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # per #x <0 # i # (- 1) / x + 1 # per #x> 0 #.

és un antidervidador particular de #f (x) = 1 / x ^ 2 #

I:

#G (x) = (- 1) / x-3 # per #x <0 # i # (- 1) / x + 6 # per #x> 0 #.

és un antidervidador diferent de #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integrals definides

La integral definitiva de # f # de # a # a # b # no és una funció. És un número.

Per exemple:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Per complicar encara més els aspectes, es pot trobar aquesta integral definida, utilitzant el teorema fonamental de càlcul, la part 2, trobant primer / a la indefinida integral / general antiderivativa, després fent somearitmètica).

La vostra pregunta està relacionada amb el que va ser veritablement la "clau clau" en el desenvolupament del càlcul per Isaac Newton i Gottfried Leibniz.

Centrant-nos en funcions que mai no són negatives, es pot expressar aquest punt de vista com: "Es poden fer servir antiderivades trobar es poden fer servir àrees (integrals) i àrees (integrals) definir antiderivatives ". Aquesta és l’essència del teorema fonamental del càlcul.

Sense preocupar-se per les sumes de Riemann (després de tot, Bernhard Riemann va viure gairebé 200 anys després de Newton i Leibniz de totes maneres) i prenent la noció d’àrea com un concepte intuïtiu (sense definir) per a una funció contínua no negativa #f (x) per a tot # x # amb #aq x, només cal pensar en el símbol integral definitiu # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # com representant l’àrea sota el gràfic de # f # i per sobre del # x #-axi entre # x = un # i # x = b #. Si hi ha una altra funció # F # es pot trobar de manera que #F '(x) = f (x) # per a tot #aq x, llavors # F # es diu antiderivativa de # f # durant l’interval # a, b # i la diferència #F (b) -F (a) # és igual al valor de la integral definitiva. Això és, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Aquest fet és útil per a trobar el valor d'una integral definitiva (àrea) quan es pot trobar una fórmula per a una antiderivativa.

Per contra, si fem el límit superior del símbol integral com a variable, anomenem-lo # t #i defineix una funció # F # per la fórmula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (tan #F (t) # és realment l'àrea sota el gràfic de # f # entre # x = un # i # x = t #, suposant #aq t), llavors aquesta nova funció # F # està ben definit, diferenciable, i #F '(t) = f (t) # per a tots els números # t # entre # a # i # b #. Hem utilitzat una integral a definir una antiderivativa de # f #. Aquest fet és útil per aproximar els valors d’una antiderivativa quan no es pot trobar una fórmula (utilitzant mètodes d’integració numèrica com la regla de Simpson). Per exemple, s’utilitza tot el temps estadístics quan aproximen les àrees sota la corba Normal. Els valors d’una especial antiderivativa de la corba normal estàndard es donen sovint en una taula dels llibres d’estadístiques.

En el cas on # f # té valors negatius, la integral definitiva ha de ser pensada en termes de "àrees signades".