Sigui G un grup cíclic i G = 48. Com es troba tot el subgrup de G?

Resposta:

Els subgrups són cíclics, amb ordres dividides #48#

Explicació:

Tots els subgrups d'un grup cíclic són ells mateixos cíclics, amb ordres que són divisors de l'ordre del grup.

Per veure per què, suposo # G = <a> # és cíclic amb l'ordre # N i #H sube G # és un subgrup.

Si # a ^ m en H # i # a ^ n en H #, aleshores també ho és # a ^ (pm + qn) # per a qualsevol nombre enter #p, q #.

Tan # a ^ k en H # on #k = GCF (m, n) # i tots dos # a ^ m # i # a ^ n # estan a # <a ^ k> #.

En particular, si # a ^ k en H # amb #GCF (k, N) = 1 llavors #H = <a> = G #.

Tampoc això si #mn = N # llavors # <a ^ m> # és un subgrup de # G # amb ordre # n #.

Podem deduir:

• # H # no té més que #1# generador.
• L'ordre de # H # és un factor de # N.

En el nostre exemple #N = 48 # i els subgrups són isomorfs a:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

sent:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #