El punt més alt de la Terra és el Mt. Everest, que es troba a 8857 m sobre el nivell del mar. Si el radi de la Terra al nivell del mar és de 6369 km, quant canvia la magnitud de g entre el nivell del mar i la part superior de la muntanya Everest?

Resposta:

# "Disminució de la magnitud de g" ~~ 0.0273m / s ^ 2 #

Explicació:

Deixar

#R -> "Radi de la Terra al nivell del mar" = 6369 km = 6369000 m.

#M -> "la massa de la Terra" #

#h -> "l’altura del punt més alt de" #

# "Mt Everest des del nivell del mar" = 8857 m

#g -> "Acceleració a causa de la gravetat de la Terra"

# "al nivell del mar" = 9,8 m / s ^ 2 #

#g '-> "Acceleració a causa de la gravetat al més alt" #

# "" "lloc a la Terra" #

#G -> "Constitució gravitacional" #

#m -> "massa d'un cos" #

Quan el cos de la massa m es troba al nivell del mar, podem escriure

# mg = G (mM) / R ^ 2 …….. (1) #

Quan el cos de la massa m es troba al punt més alt de Everst, podem escriure

# mg '= G (mM) / (R + h) ^ 2 …… (2) #

Dividir (2) per (1) que tenim

# (g ') / g = (R / (R + h)) ^ 2 = (1 / (1 + h / R)) ^ 2 #

# = (1 + h / R) ^ (- 2) ~~ 1- (2h) / R #

(Negligint els termes de major potència de # h / R # com # h / R "<<" 1 #)

Ara # g '= g (1- (2h) / R) #

Per tant, canvieu (disminueix) en magnitud de g

# Deltag = g-g '= (2hg) / R = (2xx8857xx9.8) /6369000~~,0.0273m/s^2#

Resposta:

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Explicació:

Llei de Newton per a la gravitació

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

I # g # es calcula a la superfície terrestre # r_e # com segueix:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

Tan #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

si anàvem a calcular diferents # g #anem a aconseguir

#g_ (everest) - g_ (mar) = GM (1 / (r_ (everest) ^ 2) - 1 / (r_ (mar) ^ 2)) #

# GM = 3.986005 vegades 10 ^ 14 m ^ 3 s ^ (- 2) #

#approx 3.986005 vegades 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) - 1 / (6369000 ^ 2)) #

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

Utilització de diferencials per comprovar:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e) #

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #