Quina és la prova d’E = mc ^ 2?

Resposta:

Si us plau mireu més a baix:

Explicació:

Ho sabem,

Feina feta # (W) # és

directament proporcional a la força aplicada # (F) # en un objecte per passar a un desplaçament # (s) #.

Així, aconseguim això, # W = F * s #

Però, sabem això, energia # (E) # és igual al treball realitzat # (W) #.

Per tant, # E = F * s #

Ara, Si la força # (F) # s’aplica, hi ha un petit canvi de desplaçament # (ds) # i energia # (dE) #.

Així, aconseguim això, # dE = F * ds #

Ho sabem, energia # (E) # és integral de força # (F) # i desplaçament # (s) #.

Així doncs, tenim, # E = int F * ds # ---(1)

Ara ho sabem, força # (F) # és la taxa de canvi d’impuls # (p) #.

Tan,

# F = d / dt (p) #

# F = d / dt (m * v) #

#therefore F = m * d / dt (v) # ---(2)

Ara, Posar (2) a (1), obtenim, # E = int (m * d / dt (v) + v * d / dt (m)) * ds #

# = intm * dv (d / dt (s)) + v * dm (d / dt (s)) # #because {here, d / dt (s) = v} #.

#therefore E = intmv * dv + v ^ 2dm # ---(3).

Ara, a partir de la relativitat, obtenim una massa relativista # (m) # com, # m = m_0 / sqrt (1-v ^ 2 / c ^ 2) #

Es pot escriure com, # m = m_0 (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 1/2) #

Ara, Diferenciar l’equació # w.r.t # velocitat # (v) #, obtenim, # => d / (dv) (m) = m_0 (-1/2) (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 3/2) (- 2v / (c ^ 2)) #

# = m_0v / c ^ 2 (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 3/2) #

# = m_0v / c ^ 2 (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 1/2) * (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 1) #

# = v / (c ^ 2 (1-v ^ 2 / c ^ 2)) * m_0 (1-v ^ 2 / c ^ 2) ^ (- 1/2) #

# = (vc ^ 2) / (c ^ 2 (c ^ 2-v ^ 2)) * m

# {perquè m_0 (1-v ^ 2 / c ^ 2) = m

Tan,# d / (dv) m = (mv) / c ^ 2-v ^ 2 #

Ara, Multiplicació creuada, obtenim, # => dm (c ^ 2-v ^ 2) = mv * dv #

# => c ^ 2dm-v ^ 2dm = mv * dv #

# => c ^ 2dm = mv * dv + v ^ 2dm #---(4)

Ara, Posar (4) a (3), aconseguim això, # E = int ^ 2dm #

Aquí, Sabem # (c) # és constant

Tan, # E = c ^ 2intdm # ---(5)

Ara, a partir de la regla constant, # = int dm #

# = m # ---(6)

Ara, Posar (6) a (5), obtenim, # E = c ^ 2int dm #

# E = c ^ 2 * m #

# per tant, E = mc ^ 2 #

_ _ _ #Hence, Proved. #

#Phew … #