Tres grecs, tres americans i tres italians estan asseguts a l'atzar al voltant d'una taula rodona. Quina és la probabilitat que les persones dels tres grups estiguin asseguts junts?

Tres grecs, tres americans i tres italians estan asseguts a l'atzar al voltant d'una taula rodona. Quina és la probabilitat que les persones dels tres grups estiguin asseguts junts?
Anonim

Resposta:

#3/280#

Explicació:

Compteu les maneres en què els tres grups es podrien asseure al costat de l’altre i comparar-los amb el nombre de maneres en què els 9 podrien estar asseguts aleatòriament.

Numerarem les persones de l'1 al 9 i els grups #A, G, I.

#stackrel A overbrace (1, 2, 3), stackrel G overbrace (4, 5, 6), stackrel I overbrace (7, 8, 9) #

Hi ha 3 grups, així que hi ha #3! = 6# maneres d’organitzar els grups en una línia sense pertorbar les seves ordres internes:

#AGI, AIG, GAI, GIA, IAG, IGA #

Fins ara, això ens dóna 6 permuacions vàlides.

Dins de cada grup, hi ha 3 membres, de manera que hi ha de nou #3! = 6# maneres d'organitzar els membres dins de cadascun dels 3 grups:

#123, 132, 213, 231, 312, 321#

#456, 465, 546, 564, 645, 654#

#789, 798, 879, 897, 978, 987#

Combinat amb les 6 maneres d’organitzar els grups, ara ho tenim #6^4# fins ara permutacions vàlides.

I com que som a una taula rodona, permetem els 3 arranjaments on el primer grup podria ser "la meitat" d’un extrem i "la meitat" de l’altra:

# "A A G G G I I I"

# "A G G G I I I A"

# "A G G G I I I A A" #

El nombre total de maneres d’assistir tots els 3 grups és # 6 ^ 4 xx 3. #

El nombre de maneres aleatòries per organitzar les 9 persones és #9!#

La probabilitat d’escollir aleatòriament una de les maneres "d’èxit" és llavors

# (6xx6xx6xx6xx3) / (9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1) #

# = (3) / (2xx7xx5xx4) #

#=3/280#