Com es troba el sin (x / 2), cos (x / 2) i el tan (x / 2) a partir del cot (x) = 13 donat?

Resposta:

En realitat hi ha quatre valors per a # x / 2 # al cercle unitari, de manera que quatre valors per a cada funció trigonomètica. El valor principal del mig angle és al voltant # 2.2 ^ circ.

#cos (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Vegeu l’explicació dels altres.

Explicació:

Primer parlem de la resposta primer. Hi ha dos angles al cercle unitari la cotangent és #13#. Un és al voltant # 4.4 ^ circ #, i un altre és el plus # 180 ^ circ #, anomena-ho # 184.4 ^ circ #. Cadascun d’ells té dos angles mitjans, de nou separats per # 180 ^ circ. El primer té mig angle # 2.2 ^ circ # i # 182.2 ^ circ #, el segon té mig angle # 92.2 ^ circ # i # 272.2 ^ circ #, Per tant, hi ha realment quatre mitjans angles en qüestió, amb valors diferents però relacionats amb les seves funcions trig.

Utilitzarem els angles anteriors com a aproximacions, de manera que tindrem noms per a ells.

Angles amb cotangent de 13:

#text {Arc} text {cot} 13 aprox 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 aproximadament 184,4 ^ circ #

Mitjans angles:

# 1/2 text {Arc} text {cot} 13 aprox 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aproximadament 182,2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aproximadament 92,2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) aprox. 272,2 ^ circ #

D'acord, les fórmules de doble angle per al cosinus són:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

per tant, les fórmules de mig angle corresponents són

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Això és tot preliminar. Fem el problema.

Primer farem el petit angle, # 2.2 ^ circ. Veiem que la resta d’ells només són múltiples de # 90 ^ circ # per sobre d’aquest, de manera que podem obtenir les seves funcions trigues des d’aquest primer angle.

Un cotangent de 13 és un pendent de #1/13# de manera que correspon a un triangle dret amb oposat #1#, adjacent #13# i hipotenusa #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Ara apliquem les fórmules de mig angle. Per al nostre angle mínim en el primer quadrant, escollim els signes positius.

#cos (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13}) / sqrt {170})} #

Podríem intentar simplificar i moure les fraccions fora del radical, però només ho deixaré aquí.

#sin (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13}) / sqrt {170})} #

El mig angle tangent és el quocient d'aquests, però és més fàcil d'utilitzar

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (text 1 / 2text {Arc} {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

D'acord, això és tot, però no oblidem els altres angles.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})}

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Ara tenim els angles restants, que intercanvien senyal i cosinus, donant mostres dels signes. No repetirem les formes excepte la tangent.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Uf.

Resposta:

#color (índigo) (bronzejat (x / 2) = 0,0384, sin (x / 2) = + -0,0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (carmesí) (bronzejat (x / 2) = -26,0384, sin (x / 2) = + - 0,9993, cos (x / 2) = + - 0,0384 #

Explicació:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0,0384, -26,0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Però sabem #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Quan #tan (x / 2) = 0,0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

Quan #tan (x / 2) = -26,0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #