Resoldre la següent equació: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Resposta:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Aquesta explicació proporciona un mètode bastant profund per determinar els passos per trobar possibles factors en els quals es pot reescriure una equació de tipus quadràtic de manera que sigui resoltable sense l'equació quadràtica i / o una calculadora.

Explicació:

Primer quadrateu el terme al costat esquerre de l’equació.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Expandiu el binomi quadrat. Recordeu-ho # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Podem esborrar les fraccions multiplicant l’equació pel mínim comú denominador de #3,25,# i #9,# el qual és #225#.

Tingues en compte que #225=3^2*5^2#, tan #225/3=75#, #225/25=9#, i #225/9=25#.

Multiplicant per #225# dóna:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Distribuïu cada constant multiplicativa.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Mou tots els termes a un costat i reordena l’equació.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Això té potencial per ser factible: la manca de # x ^ 3 # i # x # termes pot ser que es pugui incorporar al formulari # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Per provar factors, tingueu en compte que hauríem de trobar un parell de nombres enters el producte del qual és el producte dels primers i finals coeficients, que és # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Els mateixos enters que tenen el producte #3^2*11*19# hauria de tenir una suma de #-118#.

Com que el producte és positiu i la suma és negativa, sabem que els dos enters seran positius.

Ara el truc és trobar alguna combinació de números que provingui #3^2*11*19# la suma del qual és #118#. (Si trobem la versió positiva, podem canviar fàcilment els dos números a la seva forma negativa).

Hem d’intentar d’un grup de factors #3^2*11*19# que no superin #118#.

Podem eliminar preventivament la possibilitat d ' #3^2*19# i #11*19# ocorrent com a un dels nostres dos enters, ja que tots dos són majors que #118#. Per tant, si ens centrem #19# ja que és el factor més gran, sabem que només existirà com qualsevol altre #19# o bé #3*19#.

Per tant, les nostres úniques dues opcions per als enters són:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Suma"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):}

Per tant, el nostre parell de números el producte és #3^2*11*19# i la suma és #118# és #19# i #99#.

A partir d’aquí podem escriure el quartic com:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Factor per agrupació:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0

Dividiu-ho en dues equacions:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Resposta:

Les equacions amb fraccions sempre semblen pitjors del que són. Mentre tingueu una equació i no una expressió, podeu desfer-vos dels denominadors multiplicant-se per la LCM dels denominadors.

Explicació:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Comencem per quadrar el denominador en el segon terme.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Ara multipliqueu cada terme per 225 per cancel·lar els denominadors.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + cancel·lar (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = cancel·lar (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Aquesta és clarament quadràtica, de manera que sigui igual a 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Tingueu en compte que els termes primer i tercer són com termes, de manera que podem afegir-los junts. També quadrateu el terme mitjà.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Traieu els claudàtors per la llei distributiva:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Simplifica: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

L’exploració dels factors de 9 i 209 condueix a

9 = 3x3, o 9x1 i 209 = 11 x 19

La combinació de factors que se suma a 118 és de 99 + 19

Factorització dóna # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Si # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Si # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #