Quina és l'arrel quadrada de 82?

Resposta:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Explicació:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # per #n -> oo #

S és el nombre del qual aproxximateu la seva arrel. En aquest cas # S = 82 #

Aquí està el que significa i com s’utilitza:

Primer, suposo, quina pot ser l’arrel quadrada de 82?

l’arrel quadrada de 81 és 9, per la qual cosa ha de ser sligthly superior a 9 a la dreta?

La nostra suposició serà #x_ "0" # #, diguem 9.2, #x_ "0" = 9,2 #

Introduir el 9.2 com a "x" a la fórmula ens donarà #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Aquest serà el següent número que posem a l’equació. Això és degut a que vam començar amb una conjectura de 9.2 = #x_ "0" # #, això ens va donar un nombre #x_ "1" #, la inserció d’aquest número ens donarà #x_ "2" #, que ens donarà #x_ "3" # i així successivament, donant-nos sempre el següent número quan inserim l'anterior. El costat dret de l’equació indicat amb "#->#"vol dir que quan" n "augmenta i augmenta, el nombre també s'acosta més a l’arrel quadrada de S, en aquest cas 82.

Diguem que hem fet el mateix càlcul 100 vegades! Llavors ho hauríem de fer #x_ "100" #. Aquest nombre seria molt proper a l’arrel quadrada de S.

Ja n'hi ha prou de parlar, fem alguns càlculs reals.

Comencem amb la nostra suposició #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9.2 + 82 / 9.2) ~~ 9.05652 #

Ara feu el mateix amb el nou número: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Ho fem una darrera vegada: #x_ "3" = 1/2 (9.05549 + 82 / 9.05546) ~~ 9.0554 #

Això significa # sqrt82 ~~ 9.0554 #

I allà ho tens!

Ho sento si tot el que parlés era molest. Vaig tractar d’explicar-ho en profunditat i de forma senzilla, cosa que sempre és agradable si no coneixeu prou bé un camp en matemàtiques. No veig per què algunes persones han de ser tan elegants quan expliquen les matemàtiques:)

Resposta:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))) ~~ 9.0553851381374 #

Explicació:

La factorització primer de #82# és:

#82 = 2*41#

Com no hi ha factors quadrats, #sqrt (82) # no es pot simplificar. És un nombre irracional una mica més gran que #9#.

Tanmateix, observeu-ho #82=81+1 = 9^2+1#.

Atès que es tracta de la forma # n ^ 2 + 1 #, l’arrel quadrada té una forma molt regular com a fracció continuada:

#sqrt (82) = 9; barra (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))) # #

Més generalment:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; barra (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …))) #)

Més generalment encara:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …))) #)

En qualsevol cas, podem utilitzar la fracció continuada per obtenir aproximacions racionals #sqrt (82) # truncant.

Per exemple:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9,0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9,05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Una calculadora em diu que:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Així, podeu veure que les nostres aproximacions són exactes a gairebé tants dígits significatius com el nombre total de dígits del quocient.