Què és el domini i el rang de f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Resposta:

Domini: tota la línia real

Gamma: #-0.0757,0.826#

Explicació:

Aquesta pregunta es pot interpretar de dues maneres. O esperem que només ens ocupem de la línia real # RR #, o bé també amb la resta del pla complex # CC #. L'ús de # x # com a variable implica que estem tractant amb la línia real només, però hi ha una diferència interessant entre els dos casos que notaré.

El domini de # f # és tot el conjunt numèric considerat menys tots els punts que fan que la funció exploti al infinit. Això passa quan el denominador # x ^ 2 + 4 = 0 #, és a dir, quan # x ^ 2 = -4 #. Aquesta equació no té solucions reals, de manera que si estem treballant en la línia real, el domini és l'interval sencer # (- oo, + oo) #. Si considerem els límits infinits de la funció comparant termes principals en numerador i denominador, veiem que en ambdós infinits tendeix a zero, i així podem si volem afegir-los a aquest interval per tancar-lo: # - oo, + oo #.

L'equació # x ^ 2 = -4 # té tanmateix dues solucions complexes, #x = + - 2i #. Si considerem el pla complex sencer, el domini és el pla sencer menys aquests dos punts: # CC # # {+ - 2i} #. Igual que amb els reals, podem afegir en infinitat de manera similar si volem.

Per determinar l’interval de # f # hem de descobrir els seus valors màxims i mínims sobre el seu domini. Només parlarem en termes dels reals ara, ja que la determinació d’un anàleg a aquests sobre el pla complex és, en general, un altre tipus de problema que requereix diferents eines matemàtiques.

Prengui la primera derivada mitjançant la regla del quocient:

#f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

La funció # f # arriba bé a un extrem o un punt d'inflexió quan #f '(x) = 0 #, és a dir, quan # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

La solucionem per la fórmula quadràtica:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Així, la funció té dos punts.

Caracteritzem aquests punts examinant els seus valors a la segona derivada de # f #, que prenem de nou a través de la regla del quocient:

#f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Sabem des del primer càlcul d’arrel derivat que el segon terme del numerador és zero per a aquests dos punts, ja que establir que a zero és l’equació que acabem de resoldre per trobar els números d’entrada.

Per tant, tenint en compte això # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

#f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (barra (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

En determinar el signe d’aquesta expressió, ens preguntem si # 26> 6sqrt (13) #. Comparar els dos costats: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Tan # 26-6sqrt (13) # és positiu (i # 26 + 6sqrt (13) # encara més).

Així doncs, el signe de tota l’expressió es redueix al #bar (+) # davant d’ella, el que significa que # x = -3-sqrt (13) # té #f '' (x)> 0 # (i per tant és una funció mínima) i # x = -3 + sqrt (13) # té #f '' (x) <0 # (i, per tant, és una funció màxima). Després d’haver assenyalat que la funció tendeix a zero als infinits, ara entenem completament la forma de la funció.

Així que ara per obtenir l’abast, hem de calcular els valors de la funció en els punts mínim i màxim # x = -3 + -sqrt (13) #

Recordeu-ho #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, i així

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

Per tant, sobre la línia real # RR # la funció #f (x) # pren valors en l’interval # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)), que si avaluem numèricament, arriba a #-0.0757,0.826#, a tres xifres significatives obtingudes a # x # valors #-6.61# i #0.606# (3 s.f.)

Traceu el gràfic de la funció com a comprovació de seny:

gràfic {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Resposta:

Domini: #x a RR #

Gamma: #f (x) a -0.075693909, + 0.825693909 color (blanc) ("xxx") # (aproximadament)

Explicació:

Donat

#color (blanc) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domini

El domini són tots els valors de # x # per quin #f (x) # està definit.

Per a qualsevol funció expressada com a polinomi dividit per un polinomi, la funció es defineix per a tots els valors de # x # on el polinomi divisor no és igual a zero. Des de # x ^ 2> = 0 # per a tots els valors de # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # per a tots els valors de # x #; això és #x! = 0 # per a tots els valors de # x #; la funció es defineix per a tots els reals (# RR #) valors de # x #.

Gamma

El rang és una mica més interessant de desenvolupar.

Observem que si una funció contínua té límits, la derivada de la funció en els punts resultants d'aquests límits és igual a zero.

Tot i que alguns d'aquests passos poden ser trivials, treballarem a través d'aquest procés a partir de principis bastant bàsics per a derivats.

1 Regla d'exponent per a derivats

Si #f (x) = x ^ n # llavors # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Suma la regla per als derivats

Si #f (x) = r (x) + s (x) # llavors # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 Regla de producte per a derivats

Si #f (x) = g (x) * h (x) # llavors # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 Regla de cadena per a derivats

Si #f (x) = p (q (x)) # llavors # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Per a la funció donada #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

observem que això es pot escriure com a #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Per 3 ho sabem

Color #color (blanc) ("XXX") (vermell) ((df (x)) / (dx)) = color (calç) ((d (x + 3)) / (dx)) * color (blau) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + color (blau) ((x + 3)) * color (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1))) / (dx)) #

Per 1 tenim

#color (blanc) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

i per 2

#color (blanc) ("XXX") color (calç) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = color (calç) (1) #

Per 4 tenim

Color #color (blanc) ("XXX") (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

i per 1 i 2

#color (blanc) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x

o, simplificat:

#color (blanc) ("XXXXXXXX") = color (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

donar-nos

Color #color (blanc) ("XXX") (vermell) ((df (x)) / (dx)) = color (verd) 1 * color (blau) ((x + 4) ^ (- 1)) + color (blau) ((x + 3)) * color (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

que es pot simplificar com

Color #color (blanc) ("XXX") (vermell) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) # #

Com s’ha assenyalat (el camí cap enrere) això significa que els valors límit es produiran quan

#color (blanc) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0

#color (blanc) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

a continuació, utilitzant la fórmula quadràtica (mira això, Socratic ja es queixa de la durada d'aquesta resposta)

Quan

#color (blanc) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

En lloc de prolongar l'agonia, simplement connectarem aquests valors a la nostra calculadora (o full de càlcul, que és com ho faig) per obtenir els límits:

#color (blanc) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

i

#color (blanc) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Resposta:

Una manera més senzilla de trobar el rang. El domini és #x a RR #. El rang és #y a -0.076, 0.826 #

Explicació:

El domini és #x a RR # com

#AA x a RR #, el denominador # x ^ 2 + 4> 0 #

Deixar # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

La creu es multiplica

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Aquesta és una equació quadràtica en # x #

Hi ha solucions si el discriminant #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (i) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Per tant, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Les solucions d’aquesta desigualtat són

# y a (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32)

#y a (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32

#y a -0.076, 0.826 #

gràfic {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}