Algú em pot ajudar a entendre aquesta equació? (escrivint una equació polar d’una cònica)

Resposta:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Explicació:

Una cònica amb excentricitat # e = 4/5 # és una el·lipse.

Per a cada punt de la corba, la distància al punt focal sobre la distància a la directriu és # e = 4 / 5. #

Focalitzeu-vos al pol? Quin pol? Suposem que l’entregador vol centrar-se en l’origen.

Generalitzem l’excentricitat a # e # i la directriu a # x = k #.

La distància d'un punt # (x, y) # a l’el·lipse s’enfoca

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

La distància a la directriu # x = k # és # | x-k |.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k |

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Aquesta és la nostra el·lipse, no hi ha cap raó específica per treballar-la en forma estàndard.

Fem-lo polar, # r ^ 2 = x ^ 2 + i ^ 2 # i # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos theta -k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos theta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0

# (r e cos theta + r - ek) (r e cos theta - r - ek) = 0

#r = {ek} / {e cos theta + 1} o r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Abandonem la segona forma perquè mai hem tingut negatiu # r #.

Així, la forma polar d'una el·lipse amb excentricitat # e # i directrix # x = k # és

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Sembla que és la forma de la qual vau començar.

Connexió # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Simplificació dóna, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Això no és el cas anterior.