Què són els productes creuats?

Resposta:

Vegeu l'explicació …

Explicació:

Quan trobeu vectors a #3# dimensions a continuació, trobeu dues maneres de multiplicar dos vectors junts:

Producte creuat

Escrit #vec (u) xx vec (v) #, això pren dos vectors i produeix un vector perpendicular a tots dos, o el vector zero si #vec (u) # i #vec (v) # són paral·lels.

Si #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # i #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # llavors:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, color (blanc) (.) u_3v_1-u_1v_3, color (blanc) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Això es descriu de vegades en termes d’un determinant d’un # 3 xx 3 # matriu i els vectors de les tres unitats #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((hat (i), hat (j), hat (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Què hi ha de divisió?

Ni el producte de punts ni el producte creuat permeten la divisió de vectors. Per trobar com dividir vectors podeu mirar els quaternions. Els quaternions formen un #4# espai vectorial dimensional sobre els nombres reals i tenen aritmètica amb multiplicació no commutativa que es pot expressar com a combinació de producte punt i producte creuat. En realitat, això és un camí equivocat, ja que l'aritmètica quaternion és anterior a la presentació moderna de vectors, productes de punt i creuats.

De tota manera, podem dir que un quaternió es pot escriure com a combinació d'una part escalar i part vectorial, amb aritmètica definida per:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (v_2)) #

Per a una xerrada relacionada molt interessant, mireu això …

Vida abans de vectors