Com es troba l’àrea delimitada per les corbes y = -4sin (x) i y = sin (2x) durant l’interval tancat de 0 a pi?

Resposta:

Avaluar

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

L'àrea és: #8#

Explicació:

L'àrea entre dues funcions contínues #f (x) # i #g (x) # acabar #x a a, b # és:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Per tant, hem de trobar quan #f (x)> g (x) #

Siguin les corbes les funcions:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Saber això #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Dividiu-vos per #2# que és positiu:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Dividiu-vos per # sinx # sense revertir el signe, des de #sinx> 0 # per cada #x in (0, π) #

# -2> cos (x) #

Això és impossible, ja que:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Així, la declaració inicial no pot ser certa. Per tant, #f (x) <= g (x) # per cada #x a 0, π #

Es calcula la integral:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#