Resol la següent equació x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0?

Resposta:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #

Explicació:

Donat:

# x ^ 8-10x ^ 4 + 9 = 0 #

Tingueu en compte que això és efectivament quadràtic # x ^ 4 # així:

# (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = 0 #

Podem considerar això:

# 0 = (x ^ 4) ^ 2-10 (x ^ 4) +9 = (x ^ 4-1) (x ^ 4-9) #

Cadascun dels factors quàntics restants és una diferència de quadrats, de manera que podem utilitzar:

# A ^ 2-B ^ 2 = (A-B) (A + B) #

trobar:

# x ^ 4-1 = (x ^ 2) ^ 2-1 ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) #

# x ^ 4-9 = (x ^ 2) ^ 2 - 3 ^ 2 = (x ^ 2-3) (x ^ 2 + 3) #

La resta de factors quadràtics també comportaran diferències entre quadrats, però hem d’utilitzar coeficients irracionals i / o complexos per fer alguns d’aquests:

# x ^ 2-1 = x ^ 2-1 ^ 2 = (x-1) (x + 1) #

# x ^ 2 + 1 = x ^ 2-i ^ 2 = (x-i) (x + i) #

# x ^ 2-3 = x ^ 2- (sqrt (3)) ^ 2 = (x-sqrt (3)) (x + sqrt (3)) #

# x ^ 2 + 3 = x ^ 2- (sqrt (3) i) ^ 2 = (x-sqrt (3) i) (x + sqrt (3) i) #

Per tant, els zeros del polinomi octic original són:

#x = + -1, + -i, + -sqrt (3), + -sqrt (3) i #