Per què l’arrel quadrada de 5 és un nombre irracional?

Resposta:

Vegeu l'explicació …

Explicació:

Heus aquí un esbós d’una prova per contradicció:

Suposem #sqrt (5) = p / q # per a alguns enters positius # p # i # q #.

Sense pèrdua de generalitat, podem suposar això #p, q # són els números més petits.

A continuació, per definició:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Multiplica els dos extrems per # q ^ 2 # aconseguir:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Tan # p ^ 2 # és divisible per #5#.

Després, des de #5# és primer, # p # ha de ser divisible per #5# també.

Tan #p = 5 m per a un nombre enter positiu # m.

Així que tenim:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Divideix els dos extrems per #5# aconseguir:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Divideix els dos extrems per # m ^ 2 # aconseguir:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Tan #sqrt (5) = q / m #

Ara #p> q> m #, tan #q, m # és un parell més petit de nombres enters el quocient és #sqrt (5) #, contradient la nostra hipòtesi.

Així, doncs, la nostra hipòtesi #sqrt (5) # pot ser representat per # p / q # per a alguns enters # p # i # q # és fals. Això és, #sqrt (5) # no és racional. Això és, #sqrt (5) # és irracional.