Convertiu tots els números complexos en forma trigonomètrica i simplifiqueu l'expressió? Escriviu la resposta en forma estàndard.

Resposta:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2

Explicació:

En una altra resposta a aquesta pregunta, vaig suposar que hi havia un error tipogràfic en aquesta pregunta i això #-3# se suposava que era # -sqrt {3} #. M’han assegurat en un comentari que aquest no és el cas, que la pregunta sigui correcta, com està escrita.

No repetiré com vam decidir

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis}

Però ara hem de convertir-nos # -3 + i # a la forma trigonomètrica. Ho podem fer, però com que no és un dels triangles preferits de Trig, és una mica més incòmode.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

Estem al segon quadrant i el valor principal de la tangent inversa és el quart quadrant.

# angle (-3 + i) = text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre no funciona molt bé en una forma com aquesta, ho aconseguim

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (text {Arc} text {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Però no estem encallats. Atès que l’exponent només és #3# ho podem fer amb fórmules de triple angle. Anomenem l’angle constant que hem trobat

#theta = angle (-3 + i) #

Per De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Sabem

cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Sembla que hi ha molta més feina que fer-ho # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, fem el problema:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 {{cis} 30 ^ circ) ^ {10} } # #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) {text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / {{cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) {text {cis} (225 ^ circ)} / {{cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, mai no acaba. Obtenim

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt) {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 ({6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #