Si us plau ajuda. No estic segur de com fer-ho ràpidament sense multiplicar-ho tot?

Resposta:

La resposta a (i) és #240#.

La resposta a (ii) és #200#.

Explicació:

Ho podem fer utilitzant el triangle de Pascal, que es mostra a continuació.

(i)

Atès que l’exponent és #6#, hem d’utilitzar la sisena fila del triangle, que inclou #color (morat) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # i #color (violeta) 1 #. Bàsicament, utilitzarem #color (blau) 1 # com el primer terme i #color (vermell) (2x) # com el segon. A continuació, podem crear la següent equació. L’exponent del primer terme augmenta per #1# cada vegada i l’exponent del segon terme disminueix #1# amb cada terme del triangle.

# (color (morat) 1 * color (blau) (1 ^ 0) * color (vermell) ((2x) ^ 6) + (color (morat) 6 * color (blau) (1 ^ 1) * color vermell) ((2x) ^ 5)) + (color (morat) 15 * color (blau) (1 ^ 2) * color (vermell) ((2x) ^ 4) + (color (morat) 20 * color (blau) (1 ^ 3) * color (vermell) ((2x) ^ 3) + (color (morat) 15 * color (blau) (1 ^ 4) * color (vermell) ((2x) ^ 2)) + (color (porpra) 6 * color (blau) (1 ^ 5) * color (vermell) ((2x) ^ 1)) + (color (morat) 1 * color (blau) (1 ^ 6) * color (vermell) ((2x) ^ 0)) #

Llavors, el podem simplificar.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Per tant, el coeficient de # x ^ 4 # és #240#.

(ii)

Ja coneixem l’expansió de # (1 + 2x) ^ 6 #. Ara, podem multiplicar les dues expressions junts.

#color (marró) (1 x (1/4) * color (taronja) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

El coeficient del # x # in # 1-x (1/4) # és #1#. Així, sabem que elevarà els valors dels exponents de l’altra expressió per #1#. Perquè necessitem el coeficient de # x ^ 4 #, només hem de multiplicar # 160x ^ 3 # per # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Ara, hem d’afegir-lo # 240x ^ 4 #. Aquesta és una part de la solució de # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, a causa de la multiplicació per #1#. És significatiu perquè també té un exponent de #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

Per tant, el coeficient és #200#.

Resposta:

i. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Explicació:

L’expansió binomial per a # (a + bx) ^ c # es pot representar com:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Per a la part 1 només necessitem quan # n = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Per a la part 2, també necessitem el # x ^ 3 # terme a causa del # x / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #