Quines són les solucions a (z-1) ^ 3 = 8i?

Resposta:

#z a {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Explicació:

Per a aquest problema, haurem de saber trobar el document # n ^ "th" # arrels d’un nombre complex. Per fer-ho, utilitzarem la identitat

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

A causa d’aquesta identitat, podem representar qualsevol nombre complex com

# a + bi = Re ^ (itheta) # on #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # i #theta = arctan (b / a) #

Ara revisarem els passos per trobar el document # 3 ^ "rd" # arrels d’un nombre complex # a + bi #. Els passos per trobar el # n ^ "th" # les arrels són similars.

Donat # a + bi = Re ^ (itheta) # busquem tots els números complexos # z # de tal manera que

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Com # z # és un nombre complex, existeix # R_0 # i # theta_0 # de tal manera que

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Llavors

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

A partir d’aquest moment, de seguida tenim # R_0 = R ^ (1/3) #. També podem equiparar els exponents de # e #, però observant que el sinus i el cosinus són periòdics amb el període # 2pi #, llavors de la identitat original, # e ^ (itheta) # també ho serà. Llavors ho tenim

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # on #k a ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # on #k a ZZ #

Tanmateix, com si seguís sumant # 2pi # una vegada i una altra, acabarem amb els mateixos valors, podem ignorar els valors redundants afegint la restricció # theta_0 a 0, 2pi) #, això és, #k a {0, 1, 2} #

Posant-ho tot junts, aconseguim la solució

#z a {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) i ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

És possible que tornem a convertir-lo # a + bi # si voleu fer servir la identitat

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Aplicar l’anterior al problema actual:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Utilitzant el procés anterior, podem trobar el document # 3 ^ "rd" # arrels de # i #:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) a {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } # #

Sol·licitud # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # tenim

# i ^ (1/3) a {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Finalment, substituirem per aquests valors #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z a {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i}