El mínim comú múltiple de 84 i N és 504. Com es troba "N"?

Resposta:

#N = 72 # o bé # N = 504 #

Explicació:

El mínim comú múltiple (LCM) de dos enters # a # i # b # és el menor nombre # c # de tal manera que #an = c # i #bm = c # per a alguns enters # n # i # m.

Podem trobar el LCM de dos nombres enters observant les seves factoritzacions primeres i després prenent el producte del menor nombre de nombres primers necessaris per "contenir" tots dos. Per exemple, per trobar el mínim comú múltiple de #28# i #30#, ho notem

#28 = 2^2*7#

i

#30 = 2*3*5#

Per ser divisible per #28#, el LCM ha de tenir #2^2# com a factor. Això també es fa càrrec del #2# in #30#. Per ser divisible per #30#, també ha de tenir #5# com a factor. Finalment, ha de tenir #7# com a factor, també, per ser divisible per #28#. Així, el LCM de #28# i #30# és

#2^2*5*7*3 = 420#

Si mirem les factoritzacions primeres de #84# i #504#, tenim

#84 = 2^2*3*7#

i

#504 = 2^3*3^2*7#

Treballant enrere, ho sabem #2^3# ha de ser un factor de # N, o bé el LCM només necessitaria #2^2# com a factor. De la mateixa manera, ho sabem #3^2# és un factor de # N o bé el LCM només necessitaria #3# com a factor. Llavors, com #7#és necessari per a l'únic altre factor de la LCM #84#, # N pot o no tenir #7# com a factor. Per tant, les dues possibilitats per a # N són:

#N = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 = 72 #

o bé

#N = 2 ^ 3 * 3 ^ 2 * 7 = 504 #