Com es pot trobar una representació de sèries de potències (arctan (x)) / (x) i quin és el radi de convergència?

Resposta:

Integrar la sèrie de potències de la derivada de #arctan (x) # després dividiu per # x #.

Explicació:

Coneixem la representació de sèries de potències de # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx de tal manera que #absx <1 #. Tan # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Així que la sèrie de poder de #arctan (x) # és #intsum_n (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n + 1) #.

Ho divideixes # x #, descobreixes que la sèrie de potències de #arctan (x) / x # és #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Diguem #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Per tal de trobar el radi de convergència d’aquesta sèrie de potències, avaluem #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

# (u_ (n + 1)) / u_n = (-1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Així, si volem que la sèrie de potències convergeixi, necessitem #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, de manera que la sèrie convergirà si #absx <1 #, que no és sorprenent, ja que és el radi de convergència de la representació de la sèrie de potències de #arctan (x) #.