La resta quan x ^ (2011) es divideix per x ^ 2 -3x + 2 és?

Resposta:

# ((2 ^ 2011 - 1) x - (2 ^ 2011 - 2)) / (x ^ 2 - 3x + 2) #

Explicació:

Una manera semi-fàcil de veure-ho és començar a dividir l’expressió amb la divisió llarga. Escriviu el dividend (sota el símbol de divisió) amb zeros com

# x ^ 2011 + 0x ^ 2010 + 0x ^ 2009 + 0x ^ 2008 + …. 0 #

No necessitarem tots els termes per notar el patró.

A mesura que comenceu a dividir, observareu que el primer terme té un coeficient d'1, el segon té un coeficient de 3, el tercer té un coeficient de 7, després 15, després 31, etc.

Aquests números tenen el formulari # 2 ^ m - 1 #.

La resta apareixerà després d’haver dividit tot allò que consisteix en el # 2011 ^ (th) # i # 2012 ^ (th) # termes.

El primer terme del quocient seguirà el mateix patró, tenint #2^2011-1# com el seu coeficient. L’últim coeficient és un menys de #2^2011-1# -- és #2^2011 - 2#, o #2(2^2010 - 1)#.

El mateix patró és cert per a cada divisió del formulari

# x ^ m / (x ^ 2 - 3x + 2) #, on? #m> = 3 #.

També podeu notar-ho # x ^ 2011 - 1 # és un múltiple de #x - 1 #, que cancel·laria un factor en el denominador.

Resposta:

Mirar abaix.

Explicació:

# x ^ 2011 = Q (x) (x-1) (x-2) + a x + b #

on #Q (x) # és un #2009# polinomi de grau i # (x-1) (x-2) = x ^ 2-3x + 2 #

Ara ho sabem

# 1 ^ 2011 = a + b #

# 2 ^ 2011 = 2a + b #

Resolució de # a, b # obtenim

#a = 2 ^ 2011-1, b = 2-2 ^ 2011 # i llavors

#r (x) = (2 ^ 2011-1) x + 2-2 ^ 2011 # que és la resta.