Deixar N el nombre enter més petit amb 378 divisors. Si N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 d, quin és el valor de {a, b, c, d} a NN?

$Deixar N el nombre enter més petit amb 378 divisors. Si N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 d, quin és el valor de {a, b, c, d} a NN?$

Resposta:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

Explicació:

Donat un número # n # amb factorització primària #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, cada divisor de # n # és de la forma # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # on #beta_i a {0, 1, …, alpha_i} #. Com hi ha # alpha_i + 1 # opcions per a cadascun # beta_i #, el nombre de divisors de # n # es dóna per

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Com # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, el nombre de divisors de # N es dóna per # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Per tant, el nostre objectiu és trobar # (a, b, c, d) # tal que el producte esmentat anteriorment i # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # és mínim. Com estem minimitzant, assumirem a partir d’aquest moment #a> = b> = c> = d (Si no fos així, podríem canviar els exponents per obtenir un resultat menor amb el mateix nombre de divisors).

Observant això # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, podem considerar els possibles casos en què #378# s'escriu com a producte de quatre enters # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Podem inspeccionar-los per veure quins produeixen el mínim resultat # N.

Format: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3,3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (vermell) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Podem parar-nos aquí, ja que hi haurà altres casos #k_i> = 27 #, donant # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, que ja és més gran que el nostre millor cas.

Pel treball anterior, llavors, el # (a, b, c, d) # que produeix un mínim # N amb #378# divisors és # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, donant #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

La suma de dos números consecutius és de 77. La diferència de la meitat del nombre més petit i un terç del nombre més gran és 6. Si x és el nombre més petit i y és el nombre més gran, que dues equacions representen la suma i la diferència de els números?

X + y = 77 1 / 2x-1 / 3y = 6 Si voleu conèixer els números que podeu seguir llegint: x = 38 y = 39

El dígit de les unitats del nombre enter de dos dígits és més que el nombre de desenes. La relació entre el producte i els dígits del nombre sencer és 1/2. Com es troba aquest enter?

36 Suposem que el dígit de les desenes és t. A continuació, el dígit de les unitats és t + 3 El producte dels dígits és t (t + 3) = t ^ 2 + 3t El enter sencer és 10t + (t + 3) = 11t + 3 Pel que se'ns diu: t ^ 2 + 3t = 1/2 (11t + 3) Així: 2t ^ 2 + 6t = 11t + 3 Així: 0 = 2t ^ 2-5t-3 = (t-3) (2t + 1) És a dir: t = 3 " "o" "t = -1/2 Com que se suposa que t és un enter enter positiu inferior a 10, l’única solució vàlida té t = 3. Aleshores, el nombre sencer és: 36

Què és un nombre real, un nombre sencer, un nombre enter, un nombre racional i un nombre irracional?

Explicació A sota dels nombres racionals hi ha tres formes diferents; enters, fraccions i decimals terminants o recurrents com 1/3. Els números irracionals són bastant "desordenats". No es poden escriure com a fraccions, sinó decimals interminables i no repetits. Un exemple d’aquest és el valor de π. Un nombre sencer es pot anomenar un enter i és un nombre positiu o negatiu, o zero. Un exemple d'això són 0, 1 i -365.