Resposta:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Explicació:
Deixar #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Suposem que es tracta de valors reals i, per tant, del logaritme natural real.
Llavors estem obligats a fer-ho #x> 0 # de manera que #ln (5x) # definir.
Per ningu #x> 0 # els dos termes estan ben definits i, per tant, #f (x) # és una funció ben definida amb domini # (0, oo) #.
Tingues en compte que # 3ln (5) # i # x ^ 3 # tots dos són estrictament monòtics augmentant en aquest domini, de manera que la nostra funció també és i és un a un.
Per a petits valors positius de # x #, el terme # x ^ 3 # és petit i positiu i el terme # 3ln (5x) # és arbitràriament gran i negatiu.
Per a grans valors positius de # x #, el terme # 3ln (5x) # és positiu i el terme # x ^ 3 # és arbitràriament gran i positiu.
Atès que la funció també és contínua, el rang és # (- oo, oo) #
Així que per a qualsevol valor de #y in (-oo, oo) # hi ha un valor únic de #x in (0, oo) # de tal manera que #f (x) = y #.
Això defineix la nostra funció inversa:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Això és #f ^ (- 1) (y) # és el valor de # x # de tal manera que #f (x) = y #.
Hem demostrat (informalment) que existeix, però no hi ha cap solució algebraica per a # x # en termes de # y #.
El gràfic de #f ^ (- 1) (y) # és el gràfic de #f (x) # reflectit en la línia # y = x #.
A la notació del conjunt:
#f = {(x, y) a (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) a RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
