Pot una funció ser contínua i no diferenciable en un domini determinat?

Resposta:

Sí.

Explicació:

Un dels exemples més sorprenents d’aquest és la funció de Weierstrass, descoberta per Karl Weierstrass que va definir en el seu document original com:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

on # 0 <a <1 #, # b # és un enter impar i positiu #ab> (3pi + 2) / 2 #

Aquesta és una funció molt punxant que és contínua a tota la línia real, però no es pot diferenciar enlloc.

Resposta:

Sí, si té un punt "inclinat". Un exemple és #f (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Explicació:

La funció contínua significa pràcticament dibuixar-la sense treure el llapis del paper. Matemàticament, significa que per a qualsevol # x_0 # els valors de #f (x_0) # ja que se'ls acosta infinitament petit # dx # de l’esquerra i de la dreta han de ser iguals:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

on el signe menys significa apropar-se des del signe més a l'esquerra i significa apropar-se des de la dreta.

La funció diferenciable significa pràcticament una funció que canvia constantment la seva pendent (NO a un ritme constant). Per tant, una funció que no és diferenciable en un punt donat significa pràcticament que canvia abruptament la inclinació de l'esquerra d'aquest punt a la dreta.

Vegem 2 funcions.

#f (x) = x ^ 2 # a # x_0 = 2 #

Gràfic

gràfic {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Gràfic (ampliat)

gràfic {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Des de # x_0 = 2 # el gràfic es pot formar sense treure el llapis del paper, la funció és contínua en aquest punt. Com que no està inclinat en aquest moment, també és diferenciable.

#g (x) = | x | # a # x_0 = 0 #

Gràfic

gràfic {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

A # x_0 = 0 # la funció és contínua, ja que es pot dibuixar sense treure el llapis del paper. Tanmateix, com que es doblega en aquest punt, la funció no és diferenciable.