Quina és la inversa de f (x) = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3)?

Resposta:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- i / 3) +9/4) + 3/2 #

Explicació:

Suposant que estem tractant # log_3 # com a funció real i inversa de # 3 ^ x #, llavors el domini de #f (x) # és # (3, oo) #, ja que necessitem #x> 3 # de manera que # log_3 (x-3) # definir.

Deixar #y = f (x) #

# = -log_3 (x ^ 3) -3log_3 (x-3) #

# = - 3 log_3 (x) -3 log_3 (x-3) #

# = - 3 (log_3 (x) + log_3 (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x (x-3)) #

# = - 3 log_3 (x ^ 2-3x) #

# = - 3 log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Llavors:

# -y / 3 = log_3 ((x-3/2) ^ 2-9 / 4) #

Tan:

# 3 ^ (- y / 3) = (x-3/2) ^ 2-9 / 4 #

Tan:

# 3 ^ (- i / 3) +9/4 = (x-3/2) ^ 2 #

Tan:

# x-3/2 = + -sqrt (3 ^ (- i / 3) +9/4) #

De fet, ha de ser l’arrel quadrada positiva des de:

# x-3/2> 3-3 / 2> 0 #

Tan:

#x = sqrt (3 ^ (- i / 3) +9/4) + 3/2

Per tant:

#f ^ (- 1) (y) = sqrt (3 ^ (- i / 3) +9/4) + 3/2 #