Sigui P qualsevol punt de la cònica r = 12 / (3-sin x). Sigui F¹ i F² els punts (0, 0 °) i (3, 90 °) respectivament. Mostra que PF¹ i PF² = 9?

Resposta:

#r = 12 / {3-sin theta} #

Se'ns demana que mostri # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #, és a dir, # P # arrossega una el·lipse amb focus # F_1 # i # F_2. # Vegeu la prova següent.

Explicació:

Arreglem el que suposo que és un error tipogràfic i direm #P (r, theta) # satisfà

#r = 12 / {3-sin theta} #

El rang de sinus és #pm 1 # així conclouem # 4 el r le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

En coordenades rectangulars, # P = (r cos theta, r sin theta) # i # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r sin theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r sin theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r sin theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | r-9 |

# | PF_2 | = quadrat de 9 r. ja que ja ho sabem # 4 el r le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #