1.cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + cos ^ 2 ((31π) / 24) + cos ^ 2 ((37π) / 24) =? resoldre això

Resposta:

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) = 2 #

Explicació:

Diversió. No sé com fer-ho una vegada, només provarem algunes coses.

No sembla que hi hagi angles complementaris o complementaris, òbviament, en joc, de manera que potser el nostre millor moviment sigui començar amb la fórmula de doble angle.

#cos 2 theta = 2 cos ^ 2 theta - 1 #

# cos ^ 2 theta = 1/2 (1 + cos 2 theta) #

# cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ({19π} / 24) + cos ^ 2 ({31π} / 24) + cos ^ 2 ({37π} / 24) #

# = 4 (1/2) + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12) + cos ({31 pi} / 12) + cos ({37 pi} / 12)) #

Ara substituïm els angles amb els coterminals (uns amb les mateixes funcions trig) restant # 2 pi. #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({19 pi} / 12 -2pi) + cos ({31 pi} / 12 - 2pi) + cos ({37 pi} / 12 - 2pi))) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos (- {5pi} / 12) + cos ({7pi} / 12) + cos ({13 pi} / 12)) #

Ara substituïm els angles per angles suplementaris, cosa que nega el cosinus. Deixem anar també el signe menys en l’argument del cosinus, que no canvia el cosinus.

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos (pi - {7pi} / 12) - cos (pi - {13 pi} / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (-pi / 12)) #

# = 2 + 1/2 (cos (pi / 12) + cos ({5pi} / 12) - cos ({5pi} / 12) - cos (pi / 12)) #

# = 2 + 1/2(0) #

# = 2 #

Resposta:

#2#

Explicació:

Ho sabem, #cos (pi / 2 + theta) = - sintheta => color (vermell) (cos ^ 2 (pi / 2 + theta) = (- sintheta) ^ 2 = sin ^ 2theta #

Tan, #color (vermell) (cos ^ 2 ((31pi) / 24) = cos ^ 2 (pi / 2 + (19pi) / 24) = sin ^ 2 ((19pi) / 2) … a (1) #

#and cos ((3pi) / 2 + theta) = sintheta => color (blau) (cos ^ 2 ((3pi) / 2 + theta) = sin ^ 2theta #

# => color (blau) (cos ^ 2 ((37pi) / 2) = cos ^ 2 ((3pi) / 2 + pi / 24) = sin ^ 2 (pi / 24) … a (2) #

Utilitzant # (1) i (2) #

# X = cos ^ 2 (π / 24) + cos ^ 2 ((19π) / 24) + color (vermell) (cos ^ 2 ((31π) / 24)) + color (blau) (cos ^ 2 ((37π) / 24) #

# = cos ^ 2 (pi / 24) + cos ^ 2 ((19pi) / 2) + color (vermell) (sin ^ 2 ((19pi) / 2)) + color (blau) (sin ^ 2 (pi / 24) #

# = {cos ^ 2 (pi / 24) + sin ^ 2 (pi / 24)} + {cos ^ 2 ((19pi) / 2) + sin ^ 2 ((19pi) / 2} #

# = 1 + 1 … a com, sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1

#=2#