Quina és la superfície del sòlid creat fent girar f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x a [1,3] al voltant de l'eix x?

Resposta:

Determineu el signe i, a continuació, integrar per parts. L'àrea és:

# A = 39,66345 #

Explicació:

Has de saber si #f (x) # és negatiu o positiu #1,3#. Per tant:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Per determinar un signe, el segon factor serà positiu quan:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Des de # e ^ x> 0 # per ningu #x a (-oo, + oo) # la desigualtat no canvia:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Així, la funció només és positiva quan x és negativa i viceversa. Ja que també hi ha un # x # factor a #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Quan un factor és positiu, l'altre és negatiu, de manera que f (x) és sempre negatiu. Per tant, l’Àrea:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (i ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (i ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (i ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - i ^ -x _1 ^ 3 + x (i ^ x) _ 1 ^ 3- i ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (i ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Ús de la calculadora:

# A = 39,66345 #

Resposta:

Superfície = 11.336,8 unitats quadrades

Explicació:

el donat #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

per simplificar-ho #f (x) = y #

i # y = xe ^ -x -xe ^ x #

la primera derivada # y '# # és necessari en el càlcul de la superfície.

Àrea # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

on # ds ## = sqrt (1+ (i ') ^ 2) # # dx #

Àrea # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (i ') ^ 2) # # dx #

Determineu la primera derivada # y '# #:

diferenciar # y = x (e ^ -x - e ^ x) # utilitzant la fórmula derivada del producte

#y '= 1 * (i ^ -x-i ^ x) + x * (i ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * i ^ -x -x * e ^ x #

després de la simplificació i el factoring, el resultat és

la primera derivada # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Calcula ara l’Àrea:

Àrea = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Àrea # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (i ') ^ 2) # # dx #

Àrea

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Per a integrals complicades com aquesta, podem utilitzar la regla de Simpson:

i que

Àrea

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Àrea = -11,336,804

això implica la direcció de la revolució de manera que pugui existir una superfície negativa o una superfície positiva. Considerem només el valor positiu Àrea = 11336.804 unitats quadrades