Trobant (i) tanAtanB, (ii) tan (A + B), (iii) pecat ((A + B) / 2) utilitzant fórmules addicionals?

Resposta:

Aquestes són correctes, excepte (ii) està invertida. #tan (A + B) # hauria de ser #4/3# com #sin (A + B) = 4/5 # i #cos (A + B) = 3/5 #.

Explicació:

Diversió. Donat #cos (A + B) = 3/5 quad i quad cos A cos B = 7/10 #

Revisem les identitats pertinents.

# cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B #

#sin A sin B = cos A cos B -cos (A + B) = 7/10 - 3/5 = 1/10 #

# tanA tan B = {sin A sin B} / {cos A cos B} = {1/10} / {7/10} = 1/7 quad # elecció (i)

# cos ^ 2 (A + B) + sin ^ 2 (A + B) = 1

#sin (A + B) = pm sqrt {1- (3/5) ^ 2} = pm 4/5

# A # i # B # són aguts, # A + B <180 ^ circ # de manera que un sinus positiu:

#sin (A + B) = 4/5 #

#tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = {4/5} / {3/5} = 4/3 quad # CAP DE LES ANTERIORS

Una fórmula d’un doble angle és #cos (2x) = 1-2 sin ^ 2 x # tan

#sin ((A + B) / 2) = pm sqrt {1/2 (1 - cos (A + B))} #

La mitjana de # A # i # B # és agut, de manera que escollim el signe positiu.

#sin ((A + B) / 2) = + sqrt {1/2 (1 - 3/5)) = 1 / sqrt {5} quad # tria (iii)

Un dels tres equivocats, B-.

Resposta:

Si us plau, consulteu el document Secció Explicació.

Explicació:

Donat que #cos (A + B) = 3/5 #.

#:. cosAcosB-sinAsinB = 3/5 #.

#:. 7/10-sinAsinB = 3/5 #.

#:. sinAsinB = 7 / 10-3 / 5 = 1/10 #.

#:. (sinAsinB) / (cosAcosB) = (1/10) / (7/10) #.

Per tant, # tanAtanB = 1/7 ………….. "Ans." (i) # #.

Donat que, # 0 lt A lt pi / 2, 0 lt B lt pi / 2 #.

S'està afegint, # 0 lt (A + B) lt pi #.

#:. (A + B) a Q_1uuQ_2 #.

Però, #cos (A + B) = 3/5 gt 0 #.

#:. (A + B) a Q_1 #.

Ara, # sin ^ 2 (A + B) = 1-cos ^ 2 (A + B) = 1- (3/5) ^ 2 = 16/25 #.

#:. sin (A + B) = + - 4/5; "però, perquè," (A + B) a Q_1, #

# sin (A + B) = + 4/5 #.

#:. tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B) = (4/5) / (3/5) = 4/3 … "Ans." (ii)) #.

Finalment, trobar #sin ((A + B) / 2), "deixar", (A + B) /2=theta.#

#:. cos (A + B) = cos2theta = 3/5 #.

# "Ara", cos2theta = 3/5 rArr cos (theta + theta) = 3/5 #.

#:. costhetacostheta-sinthetasintheta = 3/5 … perquè, "Fórmula addicional" # #

#:. cos ^ 2theta-sin ^ 2theta = 3/5, és a dir, #

# (1-sin ^ 2theta) -sin ^ 2theta = 3/5, o, #

# 1-2sin ^ 2theta = 3/5 rArr sin ^ 2theta = 1/2 (1-3 / 5) = 1/5 #.

#:. sintheta = + - 1 / sqrt5 #

Des de, # (A + B) = 2theta # es troba a # Q_1, "ho fa també" theta = (A + B) / 2 #.

#:. sintheta = sin ((A + B) / 2) = + 1 / sqrt5 = + sqrt5 / 5 …… "Ans." (iii) # #.