Per què necessiteu trobar la forma trigonomètrica d’un nombre complex?

Depenent del que necessiteu fer amb els vostres números complexos, la forma trigonomètrica pot ser molt útil o molt espinosa.

Per exemple, anem # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # i # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Calculem les dues formes trigonomètriques:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # i # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # i # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # i # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Per tant, les formes trigonomètriques són:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Addició

Diguem que voleu calcular # z_1 + z_2 + z_3 #. Si utilitzeu la forma algebraica, obtindreu

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Molt fàcil. Ara proveu amb la forma trigonomètrica …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

resulta que el camí més curt per afegir aquestes dues expressions és resoldre cosinus i sinus, el que significa … recórrer a la forma algebraica!

La forma algebraica és sovint la millor forma d’escollir en afegir números complexos.

Multiplicació

Ara intentem calcular # z_1 * z_2 * z_3 #. L’ús de formes algebraiques requereix de molts càlculs molestos. Però la solució d'aquest producte amb les formes trigonomètriques és més senzilla:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Els ingredients per demostrar que la segona igualtat es manté prové de la trigonometria: els dos fórmules d'addició

#sin (alpha + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alpha + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

La multiplicació de nombres complexos és encara més neta (però conceptualment no és més fàcil) de forma exponencial.

En cert sentit, la forma trigonomètrica és una mena de forma intermèdia entre les formes algebraiques i les exponencials. La forma trigonomètrica és la manera de canviar entre aquests dos. En aquest sentit, és una mena de "diccionari" per "traduir" les formes.