Per què necessiteu trobar la forma trigonomètrica d’un nombre complex?

Depenent del que necessiteu fer amb els vostres números complexos, la forma trigonomètrica pot ser molt útil o molt espinosa.

Per exemple, anem # z_1 = 1 + i #, # z_2 = sqrt (3) + i # i # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Calculem les dues formes trigonomètriques:

# theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # i # rho_1 = sqrt {1 + 1} = sqrt {2} #

# theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # i # rho_2 = sqrt {3 + 1} = 2 #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # i # rho_3 = sqrt {1 + 3} = 2 #

Per tant, les formes trigonomètriques són:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Addició

Diguem que voleu calcular # z_1 + z_2 + z_3 #. Si utilitzeu la forma algebraica, obtindreu

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Molt fàcil. Ara proveu amb la forma trigonomètrica …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

resulta que el camí més curt per afegir aquestes dues expressions és resoldre cosinus i sinus, el que significa … recórrer a la forma algebraica!

La forma algebraica és sovint la millor forma d’escollir en afegir números complexos.

Multiplicació

Ara intentem calcular # z_1 * z_2 * z_3 #. L’ús de formes algebraiques requereix de molts càlculs molestos. Però la solució d'aquest producte amb les formes trigonomètriques és més senzilla:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2 / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Els ingredients per demostrar que la segona igualtat es manté prové de la trigonometria: els dos fórmules d'addició

#sin (alpha + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alpha + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

La multiplicació de nombres complexos és encara més neta (però conceptualment no és més fàcil) de forma exponencial.

En cert sentit, la forma trigonomètrica és una mena de forma intermèdia entre les formes algebraiques i les exponencials. La forma trigonomètrica és la manera de canviar entre aquests dos. En aquest sentit, és una mena de "diccionari" per "traduir" les formes.

Tenint en compte el nombre complex 5 - 3i, com es representa el nombre complex del pla complex?

Dibuixa dos eixos perpendiculars, com ho faríeu per a un gràfic y, x, però en lloc de yandx utilitzeu iandr. Una trama de (r, i) serà així que r és el nombre real, i i és el nombre imaginari. Per tant, dibuixa un punt sobre (5, -3) al gràfic r, i.

Com s'escriu el nombre complex en forma trigonomètrica 3-3i?

En la forma trigonomètrica tindrem: 3sqrt (2) (cos (-pi / 4) + isin (-pi / 4)) Tenim 3-3i Treure 3 com a comú tenim 3 (1-i) Ara multiplicem i bussejar per sqrt2 obtenim, 3 sqrt2 (1 / sqrt2- i / sqrt2) Ara hem de trobar l'argument del nombre complex donat que és tan (1 / sqrt2 / (- 1 / sqrt2)) que apareix - pi / 4. Atès que la part del pecat és negativa, la part cos és positiva, de manera que es troba en el quadrant 4, la qual cosa implica que aquest argument és -pi / 4. Per tant, 3sqrt (2) (cos (-pi / 4) + isin (-pi / 4)) és la resposta. Espero que ajudi !!

Com puc trobar la forma trigonomètrica del nombre complex sqrt3 -i?

Sigui z = sqrt {3} -i. | z | = sqrt {(sqrt {3}) ^ 2 + (- 1) ^ 2} = sqrt {4} = 2 fent factoring 2, z = 2 (sqrt {3} / 2-1 / 2i) = r (cos theta + isina theta) fent coincidir la part real i la part imaginària, Rightarrow {(r = 2), (cos theta = sqrt {3} / 2), (sin theta = -1 / 2):} Rightarrow theta = -pi / 6 Per tant, z = 2 [cos (-pi / 6) + i sin (-pi / 6)] ja que el cosinus és parell i senar és senar, també podem escriure z = 2 [cos (pi / 6) -isin (pi / 6)] Espero que això fos útil.