Trobeu tots els punts crítics per a aquesta funció?

Resposta:

#(0,-2)# és un punt de muntar

#(-5,3)# és un mínim local

Explicació:

Ens donen #g (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

En primer lloc, hem de trobar els punts on # (delg) / (delx) # i # (delg) / (delicat) # tots dos són iguals a 0.

# (delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (delg) / (delicat) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# x + y + 2 = 0 #

# x = -y-2 #

# -y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# y ^ 2-y-6 = 0 #

# (y-3) (y + 2) = 0

# y = 3 o -2 #

# x = -3-2 = -5 #

# x = 2-2 = 0 #

Es produeixen punts crítics a #(0,-2)# i #(-5,3)#

Ara per classificar:

El determinant de #f (x, y) # es dóna per #D (x, y) = (del ^ 2g) / (delx ^ 2) (del ^ 2g) / (deli ^ 2) - ((del ^ 2g) / (delxy)) ^ 2 #

# (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (del ^ 2g) / (deli ^ 2) = del / (deli) ((delg) / (deli)) = del / (deli) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (del ^ 2g) / (delxy) = del / (delx) ((delg) / (deli)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (del ^ 2g) / (delyx) = del / (deli) ((delg) / (delx)) = del / (deli) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) -36 = -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Des de #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# és un punt de muntar.

I des de llavors #D (-5,3)> 0 i (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# és un mínim local. (# (del ^ 2g) / (delx ^ 2) = 6 # per tant, no necessitem fer cap càlcul).