La contaminació en una atmosfera normal és inferior al 0,01%. A causa de la fuita d’un gas procedent d’una fàbrica, la contaminació augmenta fins al 20%. Si es neutralitza el 80% de la contaminació cada dia, en quants dies l’atmosfera serà normal (log_2 = 0.3010)?

Resposta:

#ln (0.0005) / ln (0.2) ~ = 4.72 # dies

Explicació:

El percentatge de contaminació està en #20%#, i volem saber quant de temps es triga a fer-ho #0.01%# si la contaminació disminueix #80%# tots els dies.

Això vol dir que cada dia multiplicem el percentatge de contaminació de #0.2# (#100%-80%=20%)#. Si ho fem durant dos dies, seria el percentatge multiplicat per #0.2#, multiplicat per #0.2# de nou, que és el mateix que multiplicar per #0.2^2#. Podem dir que si ho fem # n # dies, ens multiplicaríem per # 0.2 ^ n #.

#0.2# és la quantitat original de contaminació, i #0.0001# (#0.01%# en decimal) és la quantitat que volem arribar. Ens preguntem quantes vegades hem de multiplicar #0.2# per arribar allà. Podem expressar-ho en la següent equació:

# 0.2 * 0.2 ^ n = 0.0001 #

Per solucionar-ho, dividirem primer per ambdues parts #0.2#:

# (cancel0.2 * 0.2 ^ n) /cancel0.2=0.0001/0.2#

# 0.2 ^ n = 0.0001 / 0.2 = 0.0005 #

Ara podem prendre un logaritme en ambdós costats. El logaritme que fem servir realment no importa, estem just després de les propietats del logaritme. Vaig a triar el logaritme natural, ja que està present a la majoria de calculadores.

#ln (0.2 ^ n) = ln (0.0005) #

Des de #log_x (a ^ b) = bloc_x (a) # podem reescriure l’equació:

#nln (0.2) = ln (0.0005) #

Si dividim els dos costats, obtindrem:

# n = ln (0.0005) / ln (0.2) ~ = 4.72 #