Com integrar int e ^ x sinx cosx dx?

Resposta:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Explicació:

Primer podem utilitzar la identitat:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

que dóna:

#int i ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int i ^ xsin (2x) dx #

Ara podem utilitzar la integració per parts. La fórmula és:

f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

Vaig a deixar #f (x) = sin (2x) # i #g '(x) = e ^ x / 2 #. Aplicant la fórmula, obtenim:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

Ara podem aplicar una vegada més la integració per parts, aquesta vegada amb #f (x) = cos (2x) # i #g '(x) = e ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) i ^ x-int (-2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) i ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

Ara tenim la integral a banda i banda de la igualtat, de manera que la podem resoldre com una equació. Primer, afegim 2 vegades la integral als dos costats:

# 5 / 2int e ^ xsin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

Com que volíem la meitat com a coeficient a la integral original, dividim els dos costats per #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

Resposta:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 i ^ x cos2x} + C #

Explicació:

Cerquem:

# I = int e ^ x sinxcosx dx #

Que usen la identitat:

# sin 2x - = 2sinxcosx #

Podem escriure com:

# I = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# I = 1/2

On es pot indicar per conveniència:

# I_S = int e ^ x, i # I_C = int e ^ x cos2x dx #

Ara, fem una vegada més la integració per parts.

Deixar # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), ((dv) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

A continuació, connecteu la fórmula IBP:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:. I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. B}

Ara tenim dues equacions simultànies en dues incògnites #ÉS#. i #I C#, de manera que substituint B a A tenim:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S}

= -1 / 2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:. 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:. I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

Que condueix a:

# I = 1/2 I_S + C #

= 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + C #

= 1/10 {e ^ x sin2x -2 i ^ x cos2x} + C #