Com integrar sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Resposta:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #

Explicació:

Ja que és més fàcil tractar amb un sol # x # sota una arrel quadrada, completem el quadrat:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Ara hem de fer una substitució trigonomètrica. Vaig a utilitzar funcions trigonomètiques hiperbòliques (perquè la integració secant no sol ser molt agradable). Volem utilitzar la identitat següent:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Per fer-ho, volem # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Podem resoldre'ls # x # per obtenir la substitució que necessitem:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Integrar respecte a # theta #, hem de multiplicar per la derivada de # x # amb respecte a # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta = #

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)) * sinh (theta)

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta = #

Ara podem utilitzar la identitat # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta)

Ara utilitzem la identitat:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Podríem fer una substitució de U explícita per a # 2cosh (2theta) #, però és bastant obvi que la resposta és #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Ara hem de desfer la substitució. Podem resoldre'ls # theta # aconseguir:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Això dóna:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #