Quina és la derivada de f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Procés:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Primer, reescriurem l’equació amb una forma més fàcil de treballar.

Prengui el cosecant de tots dos costats:

2.) #csc y = x #

Reescriu en termes de sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Resoldre per # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Ara, prendre la derivada hauria de ser més fàcil. Ara només és una qüestió de regla de cadena.

Ho sabem # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (hi ha una prova d’aquesta identitat aquí)

Així doncs, prenem la derivada de la funció externa, després multipliqueu-la per la derivada # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

La derivada de # 1 / x # és el mateix que el derivat de #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Simplificant 8. ens dóna:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Per fer la declaració una mica més bonica, podem aportar el quadrat de # x ^ 2 # dins del radical, encara que això no és necessari:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))

Simplificació dels rendiments:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

I hi ha la nostra resposta. Recordeu que els problemes derivats que impliquen funcions de derivació inversa són, sobretot, un exercici del vostre coneixement de les identitats trigonometre. Utilitzeu-los per trencar la funció en un formulari fàcil de diferenciar.