Tres barres, cadascuna de la massa M i la longitud L, s'uneixen per formar un triangle equilàter. Quin és el moment d’inèrcia d’un sistema sobre un eix que passa pel seu centre de massa i perpendicular al pla del triangle?

Resposta:

# 1/2 ML ^ 2 #

Explicació:

El moment d’inèrcia d’una sola vareta al voltant d’un eix que passa pel seu centre i perpendicular al mateix

# 1/12 ML ^ 2 #

És el de cada costat del triangle equilàter sobre un eix que passa pel centre del triangle i perpendicular al seu pla

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(pel teorema de l'eix paral·lel).

El moment d’inèrcia del triangle sobre aquest eix és llavors

# 3 vegades 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Suposant que les barres siguin primes, la posició del centre de massa de cada vareta es troba al centre de la vareta. A mesura que les barres formen un triangle equilàter, el centre de massa del sistema estarà al baricentre del triangle.

Deixar # d # ser la distància del centroide des de qualsevol dels costats.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

El moment d’inèrcia d’una sola vareta al voltant d’un eix que passa pel centroide perpendicular al pla del triangle utilitzant l’eix paral·lel és

#I_ "vareta" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Hi ha tres varetes col·locades de manera similar, per tant, seria el moment total d'inèrcia de tres barres

#I_ "sistema" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "sistema" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

El segon terme usant (1) és

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Com a moment d’inèrcia d’una vareta al voltant del seu centre de massa és

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

El primer terme en (2) es converteix

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Usant (3) i (4), l’equació (2) esdevé

#I_ "sistema" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #