Un triangle té vèrtexs A (a, b), C (c, d) i O (0, 0). Quina és l'equació i l'àrea del cercle circumscrit del triangle?

Resposta:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad on

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Explicació:

Vaig generalitzar la pregunta; anem a veure com va. He deixat un vèrtex a l'origen, el que fa que sigui una mica menys desordenat i es pugui traduir fàcilment un triangle arbitrari.

El triangle és, per descomptat, totalment inessencial per a aquest problema. El cercle circumscrit és el cercle a través dels tres punts, que passen a ser els tres vèrtexs. El triangle fa una aparició sorpresa en la solució.

Alguna terminologia: el cercle circumscrit s'anomena triangle circumferència circumscrita i el seu centre el triangle Circuncer.

L'equació general d'un cercle amb centre # (p, q) # i radi quadrat # s # és

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

i l’àrea del cercle és #A = pi s.

Tenim tres incògnites # p, q, s # i sabem tres punts, de manera que obtenim tres equacions:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad perquè l’origen està en el cercle.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Resolem les equacions simultànies. Anem a convertir-les en dues equacions lineals expandint i restant parells, la qual cosa suposa la pèrdua # p ^ 2 + q ^ 2 # a l’esquerra i # s # a la dreta.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Restant, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

De la mateixa manera, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Això és dues equacions en dues incògnites. # AX = K # té solució # X = A ^ {- 1} K. # Recordo la matriu inversa de dos a dos que no sé com formatar, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (pila {d, -b} {-c, a}) #

Per a nosaltres això significa

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

i un radi quadrat de

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

així que una àrea de #Pi# vegades aquesta quantitat.

Podem veure l’expressió ser més simètrica si tenim en compte el que passa pel triangle arbitrari # (A, B), (C, D), (E, F). Ens vam posar # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # però ara no ho faré.

Vaig a notar el numerador de # s # és el producte de les tres longituds quadrades dels costats del triangle, i el denominador de # s # és setze vegades l’àrea quadrada del triangle.

A Trigonometria racional es denominen longituds quadrades quadrats i setze vegades l’espai quadrat s’anomena el quadrea. Hem trobat que el quadrant del radi de la circumferència circumscrita és el producte de les quadrícules del triangle dividides per la seva quadrea.

Si només necessitem el radi o l'àrea de la circumferència circumscrita, podem resumir el resultat aquí com:

El radi quadrat de la circumferència circumscrita és el producte de les longituds quadrades del triangle dividides per setze vegades la superfície quadrada del triangle.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #