Què són els extrems locals, si n'hi ha, de f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Resposta:

Les paràboles tenen exactament un extrema, el vèrtex.

És #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Des de # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # a tot arreu la funció és còncava a tot arreu i aquest punt ha de ser mínim.

Explicació:

Teniu dues arrels per trobar el vèrtex de la paràbola: un, utilitzar el càlcul per trobar si la derivada és zero; dos, eviteu el càlcul a tota costa i completeu el quadrat. Utilitzarem el càlcul per a la pràctica.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, hem de prendre el derivat d’aquest.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Per la linealitat de la derivada que tenim

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1) #.

Utilitzant la regla de potència, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # tenim

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Establim aquest valor igual a zero per trobar els punts crítics, els mínims i màxims locals i globals i, de vegades, els punts d'inflexió tenen derivats de zero.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

per tant, tenim un punt crític a # x = -9 / 2 # o bé #-4 1/2#.

Per trobar la coordenada y del punt crític en què participem # x = -9 / 2 # tornar a la funció, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

El punt crític / vèrtex és #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Ho sabem perquè #a> 0 #, aquest és un màxim.

Per trobar formalment si és un màxim o mínims, hem de fer la segona prova derivada.

# {d ^ 2 f (x)} / dx = {d} / dx (2x + 9) = {d} / dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

La segona derivada és 2 a tots els valors de x. Això vol dir que és major que zero a tot arreu, i la funció és còncava a tot arreu (és una paràbola amb #a> 0 # després de tot), de manera que l’extrema ha de ser el mínim, el vèrtex.