Què és la antiderivativa de (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2)?

Resposta:

La resposta és # x + arctan (x) #

Explicació:

Primer compte que: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # es pot escriure com # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = int 1 dx + int 1 / (1+ x ^ 2) dx = x + int 1 / (1 + x ^ 2) dx = #

La derivada de #arctan (x) # és # 1 / (1 + x ^ 2) #.

Això implica que l’antiderivada de # 1 / (1 + x ^ 2) # és #arctan (x) #

I és per això que podem escriure: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) #

Per tant, #int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

Així que la antiderivada de # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # és #color (blau) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

No confongueu el # antiderivativa # amb el integral indefinida

Antiderivativa no implica una constant. De fet, trobem l’anticipació no vol dir intergrate!

Quina diferència hi ha entre una antiderivativa i una integral?

No hi ha diferències, les dues paraules són sinònimes.

Què és l'antiderivativa de 1 / sinx?

És -ln abs (cscx + cot x) 1 / sinx = cscx = cscx (cscx + cotx) / (cscx + cotx) = (csc ^ 2 x + csc x cotxe x) / (cscx + cotx) El numerador és el contrari (el 'negatiu') de la derivada del denomoinator. De manera que la antiderivativa és menys el logaritme natural del denominador. -ln abs (cscx + bressol x). (Si heu après la tècnica de substitució, podem utilitzar u = cscx + cot x, de manera que du = -csc ^ 2 x - cscx cotx. L’expressió es converteix en -1 / u du.) Podeu verificar aquesta resposta diferenciant .

Què és la antiderivativa de ln x?

Intlnxdx = xlnx-x + C La integral (antiderivativa) de lnx és interessant, ja que el procés per trobar-lo no és el que esperarias. Usarem integració per parts per trobar intlnxdx: intudv = uv-intvdu On u i v són funcions de x. Aquí, deixem: u = lnx -> (du) / dx = 1 / x-> du = 1 / xdx i dv = dx-> intdv = intdx-> v = x Fer que les substitucions necessàries a la fórmula d’integració per parts, tenim: intlnxdx = (lnx) (x) -int (x) (1 / xdx) -> (lnx) (x) -incancel (x) (1 / cancelxdx) = xlnx-int1dx = xlnx-x + C- > (no us oblideu de la constant d’integració!)