P (x ^ 2) + xq (x ^ 3) + x ^ 2r (x ^ 3) = (1 + x + x ^ 2) * s (x), p (1) = ks (1) i r ( 1) = kp (1). Llavors k = ?????

Resposta:

Mirar abaix

Explicació:

Des de

#p (x ^ 2) + x * q (x ^ 3) + x ^ 2 * r (x ^ 3) = (1 + x + x ^ 2) * s (x) #

obtenim

#p (1) + 1 * q (1) + 1 ^ 2 * r (1) = (1 + 1 + 1 ^ 2) * s (1) implica #

#p (1) + q (1) + r (1) = 3s (1) #

Donat # p (1) = ks (1) # i #r (1) = kp (1) = k ^ 2s (1) #, obtenim

# (k + k ^ 2) s (1) + q (1) = 3s (1) implica #

# k ^ 2 + k-3 + {q (1)} / {s (1)} = 0 #

Aquesta equació es pot resoldre fàcilment per a # k # en termes de # {q (1)} / {s (1)} #

No obstant això, no puc deixar de sentir que hi va haver una relació més en el problema que, de cap manera, es va perdre. Per exemple, si tinguéssim una relació més semblant #q (1) = kr (1) #, ho hauríem tingut # {q (1)} / {s (1)} = k ^ 3 #, i l’equació final s’hauria convertit

# k ^ 3 + k ^ 2 + k-3 = 0 implica #

# k ^ 3-k ^ 2 + 2k ^ 2-2k + 3k-3 = 0implies #

# (k-1) (k ^ 2 + 2k + 3) = 0

Ara, des de # k ^ 2 + 2k + 3 = (k + 1) ^ 2 + 2 ge 2 #, no pot desaparèixer realment # k #. Així que hem de tenir # k = 1 #