Quin és el teorema de DeMoivre? + Exemple

El teorema de DeMoivre s'expandeix a la fórmula d'Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

El teorema de DeMoivre diu que:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Exemple:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Malgrat això, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Resolució de parts reals i imaginàries de # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Comparant amb #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Aquestes són les fórmules de doble angle per a # cos # i # sin

Això ens permet ampliar #cos (nx) # o bé #sin (nx) # en termes de poders de # sinx # i # cosx #

El teorema de DeMoivre pot ser aprofundit:

Donat # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isina (nx) #

Per tant, si volia expressar-ho # sin ^ nx # en termes d’angles múltiples de # sinx # i # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Amplieu i simplement, a continuació, introduïu valors per a # z ^ n + z ^ (- n) # i # z ^ n-z ^ (- n) # quan sigui necessari.

No obstant això, si això implica # cos ^ nx #, llavors ho faries # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # i seguiu els passos similars.