Resposta:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Explicació:
Perquè aquest problema tingués sentit # 4-9x ^ 2> = 0 #, tan # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Per tant, podem triar una # 0 <= u <= pi # de tal manera que # x = 2 / 3cosu #. Usant això, podem substituir la variable x en la integral utilitzant # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # aquí usem això # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # i això per # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Ara utilitzem la integració per parts per trobar # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Per tant # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c).
Així que hem trobat #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, ara substituïm # x # de tornada per # u #, utilitzant # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, tan #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Es pot simplificar encara més mitjançant la definició de sinus i cosinus en termes de triangles. Per a un triangle recte amb un angle # u # en una de les cantonades no rectes, # sinu = "costat oposat" / "costat més llarg" #, mentre # cosu = "costat adjacent" / "costat més llarg" #, ja que ho sabem # cosu = (3x) / 2 #, podem escollir el costat adjacent # 3x # i el costat més llarg que hi hagi #2#. Usant el teorema de Pitàgores, trobem el costat oposat #sqrt (4-9x ^ 2) #, tan #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Per tant #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
