Quina és la longitud de l’arc de r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) sobre llauna [1, ln2]?

Resposta:

Longitud d'arc #~~ 2.42533 # (5dp)

La longitud de l’arc és negativa a causa del límit inferior #1# ser major que el límit superior de # ln2 #

Explicació:

Tenim una funció vectorial paramètrica, donada per:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >>

Per calcular la longitud de l’arc requerirem la derivada vectorial que podem calcular utilitzant la regla del producte:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (i ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Després calculem la magnitud del vector derivat:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (i ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 i ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + i ^ (2 t ^ 2) + 4 i ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

A continuació, podem calcular la longitud d’arc utilitzant:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

= int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 i ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + i ^ (2 t ^ 2) + 4 i ^ (2 t ^ 2) t ^ 4)

És poc probable que puguem calcular aquesta integral utilitzant la tècnica analítica, de manera que en canvi utilitzant mètodes numèrics obtenim una aproximació:

# L ~~ 2.42533 (5dp)

La longitud de l’arc és negativa a causa del límit inferior #1# ser major que el límit superior de # ln2 #