Suposem que z = x + yi, on x i y són nombres reals. Si (iz-1) / (z-i) és un nombre real, mostreu que quan (x, y) no són iguals (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Resposta:

Si us plau mireu més a baix,

Com # z = x + iy #

# (iz-1) / (z-i) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) #

= # (ix-i-1) / (x + i (i-1)) #

= # (ix- (y + 1)) / (x + i (i-1)) xx (x-i (i-1)) / (x-i (i-1)) #

= # ((ix- (y + 1)) (x-i (i-1))) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) #

= # (ix ^ 2 + x (i-1) -x (y + 1) + i (i ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (i-1) ^ 2) #

= # (x ((i-1) - (i + 1)) + i (x ^ 2 + i ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (i-1) ^ 2) #

= # (- 2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (i-1) ^ 2) #

Com # (iz-1) / (z-i) # És real

# (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 # i # x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0

Ara com # x ^ 2 + (y-1) ^ 2 # és la suma de dos quadrats, pot ser zero només quan # x = 0 # i # y = 1 # és a dir.

si # (x, y) # no és #(0,1)#, # x ^ 2 + y ^ 2 = 1