Resoldre l’equació diferencial: (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y? Analitzeu quina classe d’equacions diferencials és aquesta i quan pot sorgir?

Resposta:

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

Explicació:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) = 16y #

millor escrit

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) 8 (dy) / (dx) + 16y = 0 triangle qquad #

que mostra que es tracta d’una equació diferencial homogènia lineal de segon ordre

té una equació característica

# r ^ 2 8 r + 16 = 0 #

que es pot resoldre de la manera següent

# (r-4) ^ 2 = 0, r = 4 #

aquesta és una arrel repetida de manera que la solució general sigui en forma

#y = (Ax + B) e ^ (4x) #

això no oscil·la i modela algun tipus de comportament exponencial que realment depèn del valor de A i B. Es podria endevinar que podria ser un intent de modelar la interacció entre població o presa, però realment no puc dir res molt específic.

mostra inestabilitat i això és tot el que realment puc dir sobre això

Resposta:

# y = (C_1 + C_2x) i ^ {lambda x} #

Explicació:

L'equació diferencial

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (dy) / (dx) + 16y = 0

és una equació de coeficient constant homogènia lineal.

Per a aquestes equacions, la solució general té l’estructura

#y = e ^ {lambda x} #

Substitució que tenim

# e ^ {lambda x} (lambda ^ 2-8lambda + 16) = 0

Aquí # e ^ {lambda x} ne 0 # per tant, les solucions han de complir

# lambda ^ 2-8lambda + 16 = (lambda-4) ^ 2 = 0 #

Resolució que obtenim

# lambda_1 = lambda_2 = 4 #

Quan les arrels es repeteixen, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # també és solució. En cas de # n # les arrels repetides, tindrem com a solucions:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) i ^ {lambda x} # per # i = 1,2, cdots, n #

Per tant, per mantenir el nombre de condicions inicials, les incloem com a solucions independents.

En aquest cas, tenim

#y = C_1 i ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) i ^ {lambda x} #

el que resulta en

# y = (C_1 + C_2x) i ^ {lambda x} #

Aquestes equacions apareixen quan es modelen sistemes de paràmetres agrupats linealment com els que es troben en la teoria de circuits lineals o la mecànica lineal. Aquestes equacions es manegen normalment utilitzant mètodes algebraics operatius com els mètodes de Laplace Transform