L’equació x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 = 0 té una arrel positiva. Verifiqueu per càlcul que aquesta arrel es troba entre 1 i 2.Pot algú resoldre aquesta pregunta?

A arrel d’una equació és un valor per a la variable (en aquest cas # x #) que fa que l’equació sigui veritable. En altres paraules, si volíem solucionar-ho # x #, llavors els valors resolts serien les arrels.

Normalment, quan parlem d’arrels, s’aconsegueix una funció de # x #, M'agrada # y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #, i trobar les arrels significa resoldre # x # Quan # y # és 0.

Si aquesta funció té una arrel entre 1 i 2, llavors en alguna # x #-valor entre # x = 1 # i # x = 2 #, l’equació serà igual a 0. La qual cosa també significa que, en algun moment d’un costat d’aquesta arrel, l’equació és positiva, i en algun moment de l’altra banda, és negativa.

Atès que estem intentant demostrar que hi ha una arrel entre 1 i 2, si podem demostrar que l’equació commuta el signe entre aquests dos valors, es farà.

Què és # y # Quan # x = 1 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (blanc) y = (1) ^ 5-3 (1) ^ 3 + (1) ^ 2-4 #

#color (blanc) y = 1-3 + 1-4 #

#color (blanc) y = –5 #

#color (blanc) y <0 #

Ara, què és # y # Quan # x = 2 #?

# y = x ^ 5-3x ^ 3 + x ^ 2-4 #

#color (blanc) y = (2) ^ 5-3 (2) ^ 3 + (2) ^ 2-4 #

#color (blanc) y = 32-3 (8) + 4-4 #

#color (blanc) y = 32-24 #

#color (blanc) y = 8 #

#color (blanc) y> 0 #

Ho hem demostrat # y # és negatiu quan # x = 1 #, i # y # és positiu quan # x = 2 #. Així que en algun moment entre 1 i 2, hi ha haver de un valor per a # x # el que fa # y # igual a 0.

Acabem d’utilitzar el Teorema del valor intermedi o (IVT). Si no sabeu què és això, una descripció ràpida és que, si una funció contínua és inferior a # c # Quan # x = un # i és més gran que # c # Quan # x = b #, llavors en algun punt entre # a # i # b #, la funció ha de ser igual # c. #

Nota:

L'IVT només s'aplica a funcions contínues (o funcions que continuen en l'interval d'interessos). Afortunadament, tots els polinomis de # x # són continus a tot arreu, de manera que podem utilitzar el IVT aquí.