Sigui M una matriu i vectors u i v: M = [(a, b), (c, d)], v = [(x), (y)], u = [(w), (z)] . (a) Proposar una definició per a u + v. (b) Demostrar que la vostra definició obeeix Mv + Mu = M (u + v)?

Resposta:

A continuació es defineixen l’addició de vectors, la multiplicació d’una matriu mitjançant un vector i la prova de la llei distributiva.

Explicació:

Per a dos vectors #v = (x), (i) # i #u = (w), (z) #

definim una operació d’addició com # u + v = (x + w), (y + z) #

Multiplicació d'una matriu #M = (a, b), (c, d) # per vector #v = (x), (i) # es defineix com # M * v = (a, b), (c, d) * (x), (y) = (ax + per), (cx + dy) # #

Anàlogament, multiplicació d’una matriu #M = (a, b), (c, d) # per vector #u = (w), (z) # es defineix com # M * u = (a, b), (c, d) * (w), (z) = (aw + bz), (cw + dz) #

Comproveu la llei distributiva d’aquesta definició:

# M * v + M * u = (ax + per), (cx + dy) + (aw + bz), (cw + dz) = #

# = (ax + per + aw + bz), (cx + dy + cw + dz) = #

# = (a (x + w) + b (y + z)), (c (x + w) + d (i + z))) = =

# = (a, b), (c, d) * (x + w), (y + z) = M * (v + u) #

Fi de la prova.