Com convertir r = 7 / (5-5costheta) en forma rectangular?

Resposta:

Aquesta és la paràbola lateral # 70 x = 25 i ^ 2 - 49. #

Explicació:

Aquest és interessant perquè només divergeix; el mínim del denominador és zero. És una secció cònica; crec que simplement divergent el converteixen en una paràbola. Això no importa molt, però ens diu que podem obtenir una bona forma algebraica sense funcions trig o arrels quadrades.

El millor enfocament és sorprenent cap enrere; utilitzem les substitucions polars a rectangulars quan sembla que l’altra manera seria més directa.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Tan # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Nosaltres veiem #r> 0. # Comencem per netejar la fracció.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Tenim un #r cos theta # així que és així # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

La nostra primera observació va ser #r> 0 # de manera que el quadrat està bé.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Ara substituïm de nou.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Tècnicament, hem respost la pregunta en aquest punt i podríem parar aquí. Però encara hi ha algebra que cal fer, i esperem una recompensa al final: potser podem demostrar que això és realment una paràbola.

# 25 x ^ 2 + 25 i ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 i ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 i ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

gràfic {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17,35, 50, -30, 30}

Sí, és una paràbola, girada # 90 ^ circ #des de l’orientació habitual.

Comproveu: bola alfa Alpha