Quina és l’equació en forma estàndard de la paràbola amb un focus a (42, -31) i una directriu de y = 2?

Resposta:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # formulari estàndard

Explicació:

Tingueu en compte que la directriu és una línia horitzontal

#y = 2 #

Per tant, la paràbola és el tipus que obre cap amunt o cap avall; la forma de vèrtex de l’equació d’aquest tipus és:

#y = 1 / (4f) (x -h) ^ 2 + k "1" #

On? #(HK)# és el vèrtex i # f # és la distància vertical signada del vèrtex al focus.

La coordenada x del vèrtex és la mateixa que la coordenada x del focus:

#h = 42 #

Substituïu #42# per # h # en equació 1:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2 + k "2" # #

La coordenada y del vèrtex està a mig camí entre la directriu i el focus:

#k = (y_ "directrix" + y_ "focus") / 2 #

#k = (2 + (- 31)) / 2 #

#k = -29 / 2 #

Substituïu #-29/2# per # k # en equació 2:

#y = 1 / (4f) (x -42) ^ 2-29 / 2 "3" #

L’equació per trobar el valor de # f # és:

#f = y_ "focus" -k #

#f = -31- (-29/2) #

#f = -33 / 2 #

Substituïu #-33/2# per # f # en equació 3:

#y = 1 / (4 (-33/2)) (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Simplifica la fracció:

#y = -1/66 (x -42) ^ 2-29 / 2 #

Amplieu el quadrat:

#y = -1/66 (x ^ 2 -84x + 1764) -29 / 2 #

Distribuïu la fracció:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 294 / 11-29 / 2 #

Combina termes com:

#y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x- 907/22 larr # formulari estàndard

Resposta:

# y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

Explicació:

Resoldrem això Problema utilitzant el següent Focus-Directrix

Propietat (FDP) del Paràbola.

FDP: Qualsevol punt a Paràbola és equidistant des del

Focus i la Directrix.

Deixeu, el punt # F = F (42, -31), "i, la línia" d: y-2 = 0, # ser

el Focus i la Directrix del Paràbola, dir S.

Deixar, # P = P (x, y) a S, # ser qualsevol Punt general.

Llavors, utilitzant el Formula de distància tenim, la distància,

# FP = sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} …………………………. (1). #

Sabent que # botdist. entre un punt # (k, k), # i, una línia:

# ax + per + c = 0, # és, # | ah + bk + c | / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2), # ho trobem, # "el" bot "" dist. btwn "P (x, y), &, d" és "| y-2 | ………….. (2). #

Per FDP, # (1) i (2), # tenim, # sqrt {(x-42) ^ 2 + (y + 31) ^ 2} = | y-2 |, o, #

# (x-42) ^ 2 = (i-2) ^ 2- (y + 31) ^ 2 = -66y-957, és a dir, #

# x ^ 2-84x + 1764 = -66y-957. #

#:. 66y = -x ^ 2 + 84x-2721, # que, a la pàgina Formulari estàndard, llegeix, # y = -1 / 66x ^ 2 + 14 / 11x-907/22, #

com Respectat Douglas K. Senyor ja ha derivat!

Gaudeix de les matemàtiques.