Què són els extrems locals, si n'hi ha, de f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Resposta:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # té un mínim local per a # x = 1 # i un màxim local per a # x = 3 #

Explicació:

Tenim:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

la funció es defineix en totes # RR # com # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Podem identificar els punts crítics trobant on la primera derivada és igual a zero:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1

per tant, els punts crítics són:

# x_1 = 1 # i # x_2 = 3 #

Atès que el denominador és sempre positiu, el signe de #f '(x) # és el contrari al signe del numerador # (x ^ 2-4x + 3) #

Ara sabem que un polinomi de segon ordre amb un coeficient positiu positiu és positiu fora de l’interval entre les arrels i el negatiu en l’interval entre les arrels, de manera que:

#f '(x) <0 # per #x in (-oo, 1) # i #x a (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # per #x a (1,3) #

Tenim llavors això #f (x) # està disminuint # (- oo, 1) #, augmentant en #(1,3)#, i de nou disminuint # (3, + oo) #, i que # x_1 = 1 # ha de ser un mínim local i # x_2 = 3 # ha de ser un màxim local.

gràfic {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}