Resposta:
Vegeu l’explicació següent
Explicació:
La funció és
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Les derivades parcials són
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (deli) = 2y + x-3 #
Deixar # (delf) / (delx) = 0 # i # (delf) / (deli) = 0 #
Llavors, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):}
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):}
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2
# (del ^ 2f) / (deli ^ 2) = 2
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1
La matriu Hessiana és
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (deli ^ 2))) #
El determinant és
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Per tant, No hi ha punts de selle.
#D (1,1)> 0 # i # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, hi ha un mínim local a #(-3,3)#
Resposta:
Mínim local: #(-3,3)#
Explicació:
El grup de punts que inclouen extrema i punts de muntatge es troben quan tots dos # (delf) / (delx) (x, y) # i # (delf) / (deli) (x, y) # són iguals a zero.
Suposant # x # i # y # són variables independents:
# (delf) / (delx) (x, i) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (delicat) (x, i) = x + 2y-3 #
Així doncs, tenim dues equacions simultànies, que són feliçment lineals:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Des del primer:
# y = -2x-3 #
Substituïu-vos al segon:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Substituïu-vos de nou a la primera:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Per tant, hi ha un punt en què les primeres derivades es converteixen de manera uniforme en zero, ja sigui un extrem o una cadira, a # (x, y) = (- 3,3) #.
Per deduir quin, hem de calcular la matriu de les derivades segones, la matriu de Hessian (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (deli ^ 2))) #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1
# (del ^ 2f) / (deli ^ 2) = 2
Per tant
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (deli ^ 2))) = ((2,1), (1,2)) #
Totes les derivades de segon ordre són uniformement constants, independentment dels valors de # x # i # y #, per tant, no necessitem calcular els valors específics del punt d’interès.
NB L’ordre de diferenciació no importa per a funcions amb derivades segones contínues (Teorema de Clairault, aplicació aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), i esperem que # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, com veiem en el nostre resultat específic anterior.
En aquest cas de dues variables, podem deduir el tipus de punt a partir del determinant de l’Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (deli ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 = 3 #.
Aquí es dóna una forma de la prova per administrar:
Veiem que el determinant és #>0#, i també ho és # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Per tant, conclouem això #(-3,3)#, l’únic punt de zero derivat primer, és un mínim local de la funció.
Com una comprovació del senyal per a una qüestió de funció unidimensional, normalment publico el gràfic, però Socratic no té una instal·lació de traçat de superfície o de contorn adequada per a funcions bidimensionals. Així que sobreimprimiré les dues funcions #f (-3, y) # i #f (x, 3) #, que no caracteritzen el domini de la funció sencera per a nosaltres, sinó que ens mostrarà el mínim entre ells, que apareix tal com s'esperava a # y = 3 # i # x = -3 #, tenint un valor de funció idèntic # f = -5 # en cada cas.
Com #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
gràfic {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
